Approche spectrale pour l'interpolation à noyaux et positivité conditionnelle

Résumé : Nous proposons une approche spectrale permettant d'aborder des problèmes d'interpolation à noyaux dont la résolution numérique n'est pas directement envisageable. Un tel cas de figure se produit en particulier lorsque le nombre de données est infini. Nous considérons dans un premier temps le cadre de l'interpolation optimale dans les sous-espaces hilbertiens. Pour un problème donné, un opérateur intégral est défini à partir du noyau sous-jacent et d'une paramétrisation de l'ensemble des données basée sur un espace mesuré. La décomposition spectrale de l'opérateur est utilisée afin d'obtenir une formule de représentation pour l'interpolateur optimal et son approximation est alors rendu possible par troncature du spectre. Le choix de la mesure induit une fonction d'importance sur l'ensemble des données qui se traduit, en cas d'approximation, par une plus ou moins grande précision dans le rendu des données. Nous montrons à titre d'exemple comment cette approche peut être utilisée afin de rendre compte de contraintes de type "conditions aux limites" dans les modèles d'interpolation à noyaux. Le problème du conditionnement des processus gaussiens est également étudié dans ce contexte. Nous abordons enfin dans la dernière partie de notre manuscrit la notion de noyaux conditionnellement positifs. Nous proposons la définition générale de noyaux symétriques conditionnellement positifs relatifs à une espace de référence donné et développons la théorie des sous-espaces semi-hilbertiens leur étant associés. Nous étudions finalement la théorie de l'interpolation optimale dans cette classe d'espaces.
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Thèse
Mathématiques [math]. École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, 2011. Français. 〈NNT : 2011 EMSE 0615〉
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Soumis le : mercredi 12 octobre 2011 - 01:50:35
Dernière modification le : dimanche 15 octobre 2017 - 22:44:03
Document(s) archivé(s) le : vendredi 13 janvier 2012 - 02:45:24

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Bertrand Gauthier. Approche spectrale pour l'interpolation à noyaux et positivité conditionnelle. Mathématiques [math]. École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, 2011. Français. 〈NNT : 2011 EMSE 0615〉. 〈tel-00631252〉

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