Conception et analyse de schémas non-linéaires pour la résolution de problèmes paraboliques : application aux écoulements en milieux poreux - INRIA - Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2017

Design and analysis of nonlinear numerical schemes for parabolic problems : application to porous media flows.

Conception et analyse de schémas non-linéaires pour la résolution de problèmes paraboliques : application aux écoulements en milieux poreux

Résumé

This thesis is focused on the design and the analysis of efficient numerical schemes for the simulation of complex flows in porous media. First, we propose a nonlinear Control Volume Finite Element scheme (CVFE) in order to approximate the solution of Richards equation with anisotropy. In particular the diffusion terms are discretized by means of a conforming piecewise linear finite element method on a primal triangular mesh, and the others terms are discretized by means of an upwind finite volume method on a barycentric dual mesh. This scheme is based on a suitable upwinding of the mobility which allows the negative transmissibility coefficients. First of all, we prove the nonlinear stability of the scheme thanks to an energy estimate, that there exists (at least) one discrete solution and that the saturation belongs to the interval [0,1]. Moreover, the convergence of the method is proved as the discretization steps tend to 0. We give some numerical experiments on isotropic and anisotropic cases illustrate the efficiency of the method. Second, We consider a degenerate parabolic system modelling the flow of fresh and saltwater in a porous medium in the context of seawater intrusion. We propose and analyze a finite volume scheme based on two-point flux approximation with upwind mobilities. The scheme preserves at the discrete level the main features of the continuous problem, namely the nonnegativity of the solutions, the decay of the energy and the control of the entropy and its dissipation. Based on these non-linear stability results, we show that the scheme converges towards a weak solution to the problem. Numerical results are provided to illustrate the behavior of the model and of the scheme. Finally, the large time behaviour of the seawater intrusion model is studied. The goal is to identify the equilibrium states which are the minimizers of a convex energy. We prove for the continuous problem the existence and uniqueness of the minimizers of the energy functional, that the minimizers are stationary states and that these stationary states are radial and unique. For different viscosity ratios, we give numerical illustrations of the stationary states and we exhibit the convergence rate.
L'objectif de cette thèse est de concevoir et d'analyser des schémas numériques performants pour la simulation d'écoulements complexes en milieux poreux. Ces écoulements représentent un domaine de recherche à la fois d'un grand intérêt scientifique et d'une grande importance pour la pratique de part leur vaste domaine d'applications. Dans un premier temps nous proposons un schéma CVFE (Control Volume Finite Element) non-linéaire pour approcher la solution de l'équation de Richards anisotrope. Les degrés de liberté sont affectés aux sommets du maillage triangulaire primal tandis que les équations de bilan sont discrétisées sur un maillage dual barycentrique. La mobilité d'arête est gérée à l'aide d'une procédure de décentrement qui autorise les transmissivités négatives et donc les pertes de monotonie. Nous montrons d'abord que ce schéma est non-linéairement stable grâce à un contrôle de l'énergie physique, qu'il admet (au moins) une solution discrète et que la saturation est bornée entre 0 et 1. Ensuite nous montrons sous hypothèse faible de régularité sur le maillage que la solution discrète converge vers la solution faible du problème continu. Enfin, en vue de mettre en évidence l'efficacité, la stabilité et la robustesse de la méthode, nous réalisons des tests numériques dans des cas isotropes et anisotropes. Dans un second temps nous nous intéressons à un modèle d'intrusion saline. Pour ce modèle nous discrétisons la partie temporelle à l'aide du schéma d'Euler implicite et la discrétisation en espace repose sur un schéma volumes finis à deux points avec un décentrement des mobilités d'arêtes. Pour ce schéma nous montrons qu'il préserve au niveau discret les principales propriétés du problème continu : l'existence de solutions discrètes positives, la décroissance de l'énergie et le contrôle de l'entropie et sa dissipation. En se basant sur ces résultats, nous montrons que la solution discrète converge vers la solution faible du problème continu. De plus, nous illustrons numériquement le comportement du modèle. Le dernier chapitre est dédié à l'étude du comportement en temps long d'un modèle d'intrusion saline. Il s'agit d'identifier les états d'équilibres qui sont les minimiseurs d'une énergie convexe. Nous montrons pour le problème continu l'existence et l'unicité des minimiseurs de la fonctionnelle d'énergie, que les minimiseurs sont des états stationnaires et que ces états stationnaires sont radiaux et uniques. Pour différents jeux de paramètres, nous donnons une illustration numérique des états stationnaires et nous exhibons le taux de convergence.
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Dates et versions

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tel-01876349 , version 2 (13-06-2020)

Identifiants

  • HAL Id : tel-01876349 , version 1

Citer

Ahmed Ait Hammou Oulhaj. Conception et analyse de schémas non-linéaires pour la résolution de problèmes paraboliques : application aux écoulements en milieux poreux. Mathématiques [math]. Université de Lille 1, Sciences et Technologies, 2017. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01876349v1⟩
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