Étude de classes de noyaux adaptées à la simplification et à l'interprétation des modèles d'approximation. Une approche fonctionnelle et probabiliste.
Résumé
The framework of this thesis is the approximation of functions for which the value is known at limited number of points. More precisely, we consider here the so-called kriging models from two points of view : the approximation in reproducing kernel Hilbert spaces and the Gaussian Process regression. When the function to approximate depends on many variables, the required number of points can become very large and the interpretation of the obtained models remains difficult because the model is still a high-dimensional function. In light of those remarks, the main part of our work adresses the issue of simplified models by studying a key concept of kriging models, the kernel. More precisely, the following aspects are adressed: additive kernels for additive models and kernel decomposition for sparse modeling. Finally, we propose a class of kernels that is well suited for functional ANOVA representation and global sensitivity analysis.
Le thème général de cette thèse est celui de la construction de modèles permettant d'approximer une fonction f lorsque la valeur de f(x) est connue pour un certain nombre de points x. Les modèles considérés ici, souvent appelés modèles de krigeage, peuvent être abordés suivant deux points de vue : celui de l'approximation dans les espaces de Hilbert à noyaux reproduisants ou celui du conditionnement de processus gaussiens. Lorsque l'on souhaite modéliser une fonction dépendant d'une dizaine de variables, le nombre de points nécessaires pour la construction du modèle devient très important et les modèles obtenus sont difficilement interprétables. A partir de ce constat, nous avons cherché à construire des modèles simplifiés en travaillant sur un objet clef des modèles de krigeage : le noyau. Plus précisement, les approches suivantes sont étudiées : l'utilisation de noyaux additifs pour la construction de modèles additifs et la décomposition des noyaux usuels en sous-noyaux pour la construction de modèles parcimonieux. Pour finir, nous proposons une classe de noyaux qui est naturellement adaptée à la représentation ANOVA des modèles associés et à l'analyse de sensibilité globale.
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